DSO-Fotografie für Dummies - Teleskop und Sensor

Auf dieser Seite möchte ich Formeln für den Zweck angeben, Teleskop und Kamerasensor für Deep-Sky-Aufnahmen optimal aufeinander abzustimmen. Zunächst stelle ich jedoch in der Einführung den Hintergrund in hoffentlich verständlicher Form dar.

Hinweise

Trotz all der Rechnerei sind dies alles lediglich grobe "Leitlinien", gegen die in der Paxis immer wieder erfolgreich verstoßen wird....
Die Seite Teleskop und Sensor stellt dieses Thema ausführlicher dar. Dort werden auch einige Formeln abgeleitet und erklärt, wie bestimmte Zahlenwerte zustande kommen.

Für Eilige...

Die Güte der Anpassung eines Kamerasensors mit vorgegebener Pixelgröße an eine bestimmte Teleskopbrennweite kann mithilfe des Abbildungsmaßstabes beurteilt werden (Faustformel):

Abbildungsmaßstab ["/Pixel] = 206,265 * Pixelgröße [µm] / Brennweite [mm] =>> 200 * Pixelgröße [µm] / Brennweite [mm]

Der Abbildungsmaßstab sollte zwischen den Richtwerten 1 und 2 liegen (oft wird auch 1,5 genannt). Wenn man das Seeing berücksichtigen möchte, halbiert man den FWHM-Wert ["] für das lokale Seeing und nimmt diesen als anzustrebenden Richtwert oder Richtwertebereich:

z.B. FWHM = 3" => 1,5 oder man wählt einen Bereich, z.B. "good Seeing" mit FWHM = 2"-4" => 1-2

Die Faustformeln, die auf dieser Seite verwendet werden finden sich zusammengestellt in Anhang: Sammlung der Faustformeln.

Einführung

Fragen...

Auf dem Markt gibt es eine große Zahl von Astronomie-Kameras unterschiedlicher Hersteller. Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal ist die Größe der Zellen des Kamerasensors, auch Pixelgröße genannt. Hobby-Astronomen, die in die Astrofotografie oder die EAA (Electronically Augmented Astronomy) einsteigen oder auch eine weitere Astronomie-Kamera kaufen wollen, stehen somit vor der Frage: Welche Pixelgröße sollte der Sensor einer solchen Kamera haben, damit er optimal zur Brennweite ihres Teleskops oder ihrer Teleskope paßt? Umgekehrt stellt sich bei gegebener Kamera, also bei vorgegebener Pixelgröße des Sensors, die Frage, welche Brennweite ihre Teleskope haben sollten, damit sie optimal dazu passen. Das wirft eine Reihe von weiteren Fragen auf: Warum fragt man gerade nach der Pixelgröße? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "optimale Anpassung"? Und wie findet man sie? Diese Fragen möchte ich im Folgenden versuchen zu beantworten!

Antworten

Digitalisierung...

Beim Einsatz einer digitalen Kamera an einem Teleskop wird ein analoges Signal, das optische Teleskopbild, in ein digitales, nämlich das vom Kamerasensor erzeugte Bild, umgewandelt. Diese Umwandlung, auch Digitalisierung genannt, sollte idealerweise verlustfrei geschehen, so dass in der digitalen Version auch noch feine oder sogar feinste Details des Originals erhalten bleiben. Wenn man zum Beispiel Musik für eine CD digitalisiert, geht es darum, alle hörbaren Frequenzen, also alle Frequenzen zwischen 20 und 20.000 Herz, zu übertragen. Bei der Digitalisierung solcher zeitlichen Signale wird das analoge Signal in schneller zeitlicher Abfolge gemessen (abgetastet, "gesampled"). Räumliche Signale, wie zum Beispiel Bilder, werden dagegen "nebeneinander", also räumlich verteilt und oft zeitlich parallel gemessen (abgetastet, "gesampled"). Die digitale Fotografie, bei der zwei räumliche Dimensionen abzubilden sind, realisiert das "räumliche Nebeneinander" durch rechteckige Sensoren, die aus einer Matrix winziger lichtempfindlicher Zellen, Pixel (picture element) genannt, aufgebaut sind. Bei Kameras für die Astrofotografie spielt neben der Anzahl der Pixel deren Größe eine zentrale Rolle, denn sie entscheidet, ob eine Digitalisierung verlustfrei geschieht oder nicht. Deshalb also die Frage nach der Pixelgröße! Details werden weiter unten erklärt!

Aber was heißt "verlustfreie Digitalisierung"? Dies bedeutet, dass die Leistung des verwendeten Teleskops nicht durch die Digitalisierung eingeschränkt wird. Oder konkreter: Objekte und Strukturen, die vom Teleskop gerade noch abgebildet oder "aufgelöst" werden können, sollten erhalten bleiben. Wie groß diese Strukturen sind, wird durch das Auflösungsvermögen des Teleskops (von dessen Öffnung es abhängt) formelmäßig beschrieben. Also gilt es, das Auflösungsvermögen eines Teleskops mit der Pixelgröße des Sensors in Beziehung zu setzen. Dafür muss ich etwas in die Theorie einsteigen!

Die Antwort, zunächst theoretisch und allgemein...

Das Nyquist-Theorem beantwortet die Frage nach einer verlustfreien Digitalisierung in allgemeiner Form: Die "Abtastfrequenz" (sampling rate) muss mindestens doppelt so hoch sein wie die die höchste zu übertragende Frequenz. Bei CDs wählt man deshalb 44 kHz, um Frequenzen bis 20 kHz sicher übertragen zu können. Bei räumlichen Signalen (man spricht von sogenannten "Ortsfrequenzen", für Laien schwerer vorstellbar...) muss also das "Empfangsgitter" aus Sensorzellen mindestens doppelt so fein sein wie die feinsten Details des Originalbildes, die noch erhalten bleiben sollen.

Für Astronomiekameras heißt dies, dass die kleinsten abbildbaren Objekte/Strukturen auf mindestens zwei Pixel fallen müssen, damit sie "optimal" abgebildet werden (wenn sie auf drei Pixel fallen, werden Sterne noch etwas runder...). Daraus folgt, das ein Pixel halb so groß wie das Auflösungsvermögen des verwendeten Teleskops sein muss, damit eine verlustfreie Digitalisierung gewährleistet ist.

Und nun zur Praxis!

Mit Hilfe des Nyquist-Theorems haben wir "im Prinzip" die Antwort auf die anfangs gestellte Frage erhalten! Allerdings ist diese Antwort in der Praxis nicht immer relevant, denn bei Teleskopen sind noch die Beugung und die Luftunruhe (Seeing) zu beachten. Beide können größer als das Auflösungsvermögen des Teleskops sein und müssen in einem solchen Fall anstelle der Auflösung als Bezugsgröße für die Pixelgröße verwendet werden. Außerdem gibt es noch unterschiedliche "Interpretationen" des Auflösungsvermögens (Nyquist-Grenzfrequenz, Auflösungsvermögen nach Dawes und Rayleigh), die auf unterschiedlichen Auflösungskriterien beruhen und zu leicht unterschiedlichen Zahlenwerten führen.

Damit stellt sich die Frage: Wann nehme ich welche Bezugsgröße für die Pixelgröße? Für die Beantwortung dieser Frage habe ich zwei Ansätze gefunden, die sich zwar unterscheiden, aber im Endeffekt auf das gleiche Ergebnis hinauslaufen, nämlich zwischen DSO-Fotografie und der Fotografie von Mond, Sonne und Planeten zu unterscheiden. Während die meisten Autoren eine Unterscheidung auf der Grundlage von Langzeit- gegenüber Kurzzeitaufnahmen machen, unterscheidet der deutsche Optik-Designer Gerd Düring zwischen den Zielen, ein möglichst helles Bild zu erhalten, und, eine möglichst hohe Auflösung zu erreichen. Hier zunächst ein kurzer Überblick über beide Ansätze:

	DSO-Fotografie	Fotografie von Mond, Sonne und Planeten
Helligkeit der Objekte	gering	hoch
Belichtungszeit	lang (Langzeitaufnahmen)	kurz (Kurzzeitaufnahmen)
(1) Effekt der Belichtungszeit	Aufgrund langer Belichtungszeiten bläht die Luftunruhe (Seeing) Sterne auf; deshalb muss statt der Auflösung das lokale Seeing (als FWHM-Wert) verwendet werden (oder das Beugungsscheibchen, wenn es noch größer ist).	Kurze Belichtungszeiten "frieren" die Luftunruhe ein; deshalb kann mit dem Auflösungsvermögen bzw. der Nyquist-Grenzfrequenz gerechnet werden.
(2) Ziel (nach Düring)	Ein möglichst helles Bild (auf Kosten der Auflösung), um lichtschwache Details noch sichtbar zu machen	Eine möglichst hohe Auflösung (auf Kosten der Helligkeit, was aber wegen der Helligkeit der Objekte kein Problem darstellt), um feinste Details sichtbar zu machen

Um die beiden Anwendungsfälle DSO gegen Planeten/Nond/Sonne einander ausführlicher gegenüberzustellen, habe ich eine Tabelle angelegt, die sich an einem Posting von Gerd Düring in astronomie.de-Forum sowie an persönlicher Kommunikation mit ihm orientiert und die ich noch um andere Gesichtspunkte und um Formeln erweitert habe. Hier liegt die Betonung primär auf den Zielen, die Gerd Dürung definiert hat:

Item	DSO	Planeten, Mond, Sonne	Kommentare, Folgerungen
Ziel	Bei DSO-Fotografie geht es darum besonders lichtschwache Details noch sichtbar zu machen. Sie sind nämlich in der Regel nur deshalb nicht sichtbar weil sie zu dunkel sind und nicht etwa, weil es an Auflösung fehlt.Ziel bei DSO-Fotografie ist es also ein möglichst helles Bild zu bekommen damit bei gegebener Belichtungszeit möglichst viele lichtschwache Details sichtbar werden. Ein helles Bild bedingt aber eine kleine Abbildung* und damit eine geringere Auflösung des Bildes. *) Eindrucksvoll sieht man das, wenn man eine sehr kurze Belichtung mit einer sehr lang belichteten Aufnahme vergleicht. Den enormen Zugewinn an Details der langen Belichtung verdankt man ausschließlich dem Zugewinn an Helligkeit und nicht etwa einem Zugewinn an Auflösung des Setups, denn das ist ja in beiden Fällen identisch.	Hier ist eine möglichst hohe Auflösung das Ziel, was im Gegenzug ein dunkles Bild bedeutet. Das ist jedoch kein Problem, weil Mond und Planeten hell genug sind, um auch bei dunklem Bild, also bei hoher Öffnungszahl, ausreichend hell zu erscheinen. Details die hier nicht sichtbar sind, sind das nicht etwa, weil sie zu dunkel sind, sondern weil sie nicht aufgelöst werden.	Es hat also gute Gründe warum man für DSO möglichst kleine Öffnungszahlen verwendet, die ein helles Bild, aber dafür geringere Auflösung des Bildes bieten, und für Planeten wesentlich höhere Öffnungszahlen, die zwar ein dunkles Bild, aber dafür mehr Auflösung des Bildes bieten. >> Daher ergeben sich unterschiedliche Öffnungszahlen bei gegebener Pixelgröße des Sensors je nach Zielsetzung DSO- oder Planetenfotografie.
Nyquist-Theorem	Man wendet das Nyquist-Theorem (siehe Kommentar rechts) in beiden Fällen an, aufgrund der jeweiligen Zielstellung jedoch völlig unterschiedlich:
Nyquist-Theorem	DSO-Fotografie: maximale Helligkeit des Bildes Bei DSO-Fotografie soll das Bild möglichst hell sein, aber die Sterne sollen nicht pixelig erscheinen. Deshalb bezieht man das Nyquist-Theorem hier auf das Beugungsscheibchen oder auf das FWHM (Seeing), je nachdem, was größer ist, und bringt die Sensorgröße damit in Einklang (das BS/FWHM-Scheibchen soll auf zwei Pixel fallen).	Planetenfotografie: maximale Auflösung des Bildes Hier soll das Bild so detailreich wie möglich sein. Hier bezieht man das Nyquist-Theorem hier auf das Auflösungsvermögen der Optik, genauer gesagt auf die Grenzfrequenz der Optik, und bringt die Grenzfrequenz des Sensors damit in Einklang (das Auflösungsvermögen/die Grenzfrequenz soll auf zwei Pixel fallen).	Das Nyquist-Theorem besagt, dass das kleinste zu übertragende Signal auf zwei Pixel fallen soll, damit das Sinal verlustfrei wiedergegeben werden kann. In den beiden Anwendungsfällen ist dieses "kleinste zu übertragende" Signal unterschiedlich.
Luftunruhe (Seeing)	Die Luft neigt zu Unruhe und Turbulenzen, auf Englisch spricht man von "Seeing". Bei Aufnahmen mit längeren Belichtungszeiten, wie bei DSO-Aufnahmen, wirkt sich die Luftunruhe aus und bläht die Sternabbildungen mehr oder weniger stark auf.	In der Praxis wirkt sich die Luftunruhe bei Kurzzeitaufnahmen (Mond, Sonne, Planeten) nicht aus, weil die Turbulenzen in der Atmosphäre gewissermaßen "eingefroren" werden. Hier also nucht relevant!	>> Bei der DSO-Fotografie spielt die theoretisch oder empirisch ermittelte Teleskopauflösung keine Rolle, sondern entweder der größere Seeing-Wert (als FWHM-Wert), der im Prinzip die Größe eines "aufgeblähten Sternes" angibt, oder das Beugungsscheibchen, je nachdem welcher Wert größer ist.
Beugungsscheibchen	Das Beugungsscheibchen (Airy Disk) hat einen Durchmesser, der der doppelten Rayleigh-Auflösung entspricht; Details siehe im Folgenden. Es ist umso kleiner, je größer die Öffnung des Teleskops ist; daher spielt es nur bei kurzbrennweitigen Teleskopen eine Rolle, weil es dort größer als gängige FWHM-Werte sein kann.	Irrelevant	>> Das Beugungsscheibchen* spielt es nur bei kurzbrennweitigen Teleskopen eine Rolle, weil es dort größer als der FWHM-Wert sein kann.*
Anwendung des Nyquist-Theorems: Auflösungsvermögen	Auflösungsvermögen (Durchmesser des BS) = 2,44 * 206265 * λ / D = 2,44 * 206265 * 0,00055mm / D = 276,8 / D BS = Beugungsscheibchen Der Faktor 206265 ist die Umrechnung von Bogenmaß in Winkelsekunden; Lambda = Wellenlänge = 550 nm = 0,00055 mm; D = Öffnung in mm Das Auflösungsvermögen auf der Grundlage des Durchmessers des Beugungsscheibchens wird nur eingesetzt, wenn das Beugungsscheibchen größer ist als der Wert für das lokale Seeing (FWHM); es wird stets der größere Wert gewählt, weil dieser den anderen Wert "überdeckt". Hinweis: Das Beugungsscheibchen ist immer gößer als die Grenzfrequenz (Faktor 2,44) oder die Auflösungen nach Dawes (Faktor 2,4) und Rayleigh (Faktor 2).	Auflösungsvermögen (Grenzfrequenz) = 206265 * λ / D = 206265 * 0,00055mm / D = 113,45 / D Auflösungsvermögen (Dawes) = 1,02 * 206265 * λ / D =1,02 * 206265 * 0,00055mm / D = 115,7 / D Auflösungsvermögen (Rayleigh; Radius des BS) = 1,22 * 206265 x λ / D =1,22 * 206265 * 0,00055mm / D = 138,4 / D Der Faktor 206265 ist die Umrechnung von Bogenmaß in Winkelsekunden; λ = Wellenlänge = 550 nm = 0,00055 mm; D = Öffnung in mm	Das Auflösungsvermögen (Grenzfrequenz) der Optik ist also um den Faktor 2,44 kleiner als der Durchmesser des Beugungsscheibchens. Das empirische ermittelte Dawes-Kriterium für das Auflösungsvermögen liegt praktisch bei der Grenzfrequenz (Faktor 1,02, der nicht immer angegeben wird). Das formale Rayleigh-Kriterium für das Auflösungsvermögen (Radius des BS) ist um den Faktor 2 kleiner als der Durchmesser des BS und um den Faktor 1,22 größer als die Grenzfrequenz. >> Im Vergleich zum empirischen Dawes-Kriterium unterschätzt das formale Rayleigh-Kriterium das Auflösungsvermögen um den Faktor 1,22 (oder 1,2): beim Dawes-Kriterium überlappen die beiden Beugungsscheibchen so stark, dass fast keine Einsenkung zwischen den Maxima zu erkennen ist, während beim Rayleigh-Kriterium die Einsenkung etwa 26 % beträgt. >> Diese Unterschätzung ist auch der Grund, warum Gerd Düring bei Planeten/Mond/Sonne mit der Grenzfrequenz rechnet.

Hinweis: Auf dieser Seite betrachte ich nur den Fall der Deep-Sky-Aufnahmen; der Fall der Mond-, Sonnen- und Planetenfotografie wird auf Seite Teleskop und Sensor ebenfalls behandelt.

Ausblick

Im Folgenden stelle ich einige einfache Formeln für die Deep-Sky-Fotografie vor, zu denen es oft auch "Faustformeln" gibt, die die Berechnungen vereinfachen. Dabei sind die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite eine direkte Anwendung des gerade geschilderten Vorgehens. Für die anderen Formeln habe ich keine Ableitungen gefunden, aber sie basieren ebenfalls auf dem hier geschilderten Grundprinzip. Ausführlichere Formeln und ggf. Ableitungen sowie Begründungen für bestimmte Faktoren und Werte finden sich nicht auf dieser Seite, sondern auf Seite Teleskop und Sensor.

Deep Sky-Aufnahmen

Im folgenden stelle ich einige einfache Formeln für die Deep-Sky-Fotografie vor, zu denen es oft auch "Faustformeln" gibt:

Wenn man nach einer passenden Kamera für Deep-Sky-Aufnahmen sucht, wird man die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite verwenden, und zwar in der Form, bei der man auch den Einfluss des Seeing berücksichtigen kann.
Ist eine Kamera bereits vorhanden, wird man dagegen den Abbildungsmaßstab für verschiedene Teleskope im eigenen Teleskop-Park bestimmen wollen; auch hierbei gibt es die Möglichkeit, den Seeing-Einfluss zu berücksichtigen.
Schließlich kann man auch den für einen Sensor empfohlenen Brennweitenbereich für Teleskope mit Hilfes des Abbildungsmaßstabes bestimmen (mit und ohne Seeing-Einfluss).

(1) Pixelgröße

Abhängig vom Seeing

Bei DSO-Aufnahmen wird üblicherweise der Einfluss des Seeings bei der Anpassung des Kamerasensors an ein Teleskop berücksichtigt. Dabei setzt man anstelle der Auflösung das lokale Seeing als FWHM-Wert (in Bogensekunden) in die Formel für die Pixelgröße (oder Teleskopbrennweite) ein:

Pixelgröße [µm] = Brennweite [mm] * FWHM ["] / 412,5 (Formel 2a)
Brennweite [mm] = Pixelgröße [µm] / FWHM ["] * 412,5 (Formel 2b)

Beispiel (TLAPO1027)

Brennweite 714 mm; Seeing = 3" (Durchschnittswert für Mitteleuropa) >> Pixelgröße = 5,2 [µm]
>> Das passt ganz gut für die Atik Infinity mit 6,45 µm Pixelgröße!
Brennweite 714 mm; Pixelgröße Atik Infinity = 6,45 [µm]; Seeing = 3" (Durchschnittswert für Mitteleuropa) >> Teleskopbrennweite = 887 [mm]
>> Die Brennweitendifferenz ist nicht allzu groß, die Atik Infinity passt ganz gut auf das TLAPO1027!

Abhängig vom Beugungsscheibchen

Der Durchmesser des Beugungsscheibchens (Airy Disk), der sich aus dem effektiven Blendendurchmesser eines optischen Systems ergibt, bestimmt dessen Auflösungsvermögen. Zwei Punkte lassen sich dann sicher nach dem Rayleigh-Kriterium trennen, wenn die Maxima ihrer Abbilder mindestens um den Radius des Beugungsscheibchens auseinander liegen. Der Durchmesser des Beugungsscheibchen gibt auch die minimale Größe an, mit der Sterne im Teleskop abgebildet werden.

Der Durchmesser des Beugungsscheibchens kann in µm folgendermaßen berechnet werden:

D [µm] = 1,344 * Öffnungsverhältnis (Formel 3a)
D ["] = 276,73 / Öffnung [mm] (Formel 3b)

Oft wird auch nur der gerundete Wert "277" verwendet.

Bei der Beobachtung von DSO kann das Beugungsscheibchen größer sein als die aktuellen Seeing-Werte, gemessen als FWHM (in Sekunden). In einem solchen Fall ist der größere Wert, also die Größe des Beugungsscheibchens anzusetzen. Zum Vergleich mit dem FWHM-Wert benötigt man die Größe des Beugungsscheibchens in Sekunden, für die Bestimmung der Pixelgröße, seine Größe in µm. Der letztere Wert muss dann noch halbiert werden, um auf die Pixelgröße des Sensors zu kommen, weil er sich auf zwei Pixel bezieht.

Beispiel (Vaonis Vespera)

Mit einem Öffnungsverhältnis von F/4 und einer Wellenlänge von 0,55 µm (550 nm) erhalten wir einen Durchmesser von 5,37 µm >> "ideale" Pixelgröße des Sensors: 2,68 µm.
Mit einer Öffnung von 50 mm und einer Wellenlänge von 0,00055 mm (550 nm) erhalten wir einen Durchmesser von 5,54" >> liegt über einem FWHM von 5".

(2) Abbildungsmaßstab

Für "Good Sampling"

Anhand des Abbildungsmaßstabes eines Kamerasensors mit einer vorgegebenen Pixelgröße an einer bestimmten Teleskopbrennweite kann die Güte der Anpassung einer Kamerasensor/Teleskop-Kombination beurteilt werden. Hierfür gilt (Faustformel):

Abbildungsmaßstab ["/Pixel] = 206,265 * Pixelgröße [µm] / Brennweite [mm] (Faustformel; Formel 4)

Oft wird auch nur der gerundete Wert "206" verwendet.

Für den Deep-Sky-Bereich gilt als Faustregel für "good sampling", einen Abbildungsmaßstab von ca. 1 bis 2 Sekunden pro Pixel* anzustreben. Bei Werten für den Abbildungsmaßstab über 2 spricht man von "undersampling", bei Werten unter 1 von "oversampling".

Beispiel

TLAPO1027: Brennweite 714 mm, Öffnung 102 mm, Öffnungsverhältnis 1/7; Pixelgröße Atik Infinity 6,45 [µm] >> Abbildungsmaßstab = 1,86 ["/Pixel] (exakte Formel/Faustformel)
>> Das passt noch für Deep Sky-Aufnahmen...

*) Andere Angaben, die ich gefunden habe sind: 1,25, 1,5, 1,5-2, 1-2,5 und sogar 0,7-3. Begründungen für diese Richtwerte werden üblicherweise nicht gegeben, aber offensichtlich beruhen sie auf typischen Werten für das Seeing (in Mitteleuropa). Dazu weiter unten mehr!

Abhänging vom Seeing

Um den Seeing-Einfluss zu berücksichtigen, halbiert man in der Praxis einfach den Seeing-Wert (FWHM) und wählt diesen als anzustrebenden Abbildungsmaßstab. Man prüft also den den nach Formel 3 berechneten Abbildungsmaßstab nicht daraufhin, ob er zwischen den "idealen" Werten 1 und 2 liegt, sondern ob er in der Nähe des aus dem FWHM-Wert bestimmten Abbildungsmaßstabes liegt. Dazu weiter unten mehr!

Um die Pixelgröße des Sensors bei vorgegebener Teleskopbrennweite zu bestimmen, muss die Formel für den Abbildungsmaßstab umgeformt werden; entsprechendes gilt für die Teleskopbrennweite bei vorgegebener Pixelgröße:

Pixelgröße [µm] = Brennweite [mm] * (FWHM ["] / 2) / 206,265 (Faustformel; Formel 5a)
Brennweite [mm] = 206,265 * Pixelgröße [µm] / (FWHM ["] / 2) (Faustformel; Formel 5b)

Beispiel (TLAPO1027)

Nach der "Halbierungsregel" ist bei einem lokalen Seeing von durchschnittlich 4" also ein Abbildungsmaßstab von 2 anzustreben.
Damit ergibt sich für die Pixelgröße beim TLAPO1027 mit 714 mm Brennweite ein Wert von 6,9 [µm]; die Atik Infinity mit 6,45 [µm] Pixelgröße würde passen.
Bei der Atik Infinity mit 6,45 [µm] Pixelgröße würde sich eine Brennweite von 665,2 mm ergeben, was in der Nähe der Brennweite des TLAPO1027 mit 714 mm Brennweite liegt.

Astronomy.tool "Tweak"

Um "runde" Sterne zu erhalten, schlagen die Autoren der Website Astronomy.tools vor, mit der 3-fachen Frequenz des analogen Signals abzutasten. Zunächst einmal ordnen sie den unterschiedlichen Seeing-Bedingungen FWHM-Wertebereiche zu und gelangen per Division dieser Werte durch 3 (beim niedrigeren Wert) oder 2 (beim höheren Wert) zu "empfohlenen" Wertebereichen für den Abbildungsmaßstab (den sie "pixel size" nennen...). Dies führt zu der folgenden Tabelle, in die ich auch das Standardverfahren der "Halbierung" aufgenommen habe:

	Seeing		Abbildungsmaßstab
Seeing-Bedingungen	FWHM-Wert		Astronomy. tools		Halbierung- regel		Anmerkungen
	Von	Bis	Von	Bis	Von	Bis
Exceptional good seeing	0,5"	1"	0,17	0,5	0,25	0,5
Good seeing	1"	2"	0,33	1	0,5	1
OK seeing	2"	4"	0,67	2	1	2	Mittelwert = 3" für Mitteleuropa => 1,5
Poor seeing	4"	5"	1,33	2,5	2	2,5
Very poor seeing	5"	6"	1,67	3	2,5	3

Mit einem interaktiven Rechner kann man auf der Astronomy.tools-Website den Abbildungmaßstab für seine Konfiguration berechnen (er rechnet nach der oben angegebenen Faustformel) und in Beziehung zu den Werten des lokalen Seeings setzen. Man prüft also nicht, ob dieser Wert zwischen 1 und 2 liegt, sondern ob er innerhalb der Grenzen liegt, welche die jeweiligen Seeing-Bedingungen vorgeben.

Beispiel

Bei "OK Seeing " ist bei einem lokalen Seeing zwischen 2" und 4" ist also ein Abbildungsmaßstab zwischen 0,67 und 2 (bzw. nach der "Halbierungsregel" von 1 bis 2) anzustreben.
Damit ergibt sich für die Pixelgröße beim TLAPO1027 mit 714 mm Brennweite ein Wert zwischen 2,3/3,46 [µm] und 6,9 [µm]; die Atik Infinity mit 6,45 [µm] Pixelgröße würde gerade so passen.

Woher kommen die Empfehlungen für den Wert des Abbildungsmaßstabes?

Wie schon erwähnt, werden bei den Internet-Quellen üblicherweise keine Begründungen für die angegebenen "idealen" Werte des Abbildungsmaßstabes gegeben. Mein Verdacht, dass sie auf typischen Werten für das Seeing in Mitteleuropa beruhen, scheint sich anhand der oben gezeigten Tabelle zu bestätigen. Der oft genannte Wertebereich von 1-2 für den Abbildungsmaßstab entspricht demnach dem "OK Seeing", der ebenfalls oft genannte Wert von 1,5 dem "mittleren Seeing" von 3", das H.J. Strauch für Mitteleuropa angibt. Andere Werte oder Wertebereiche scheinen lediglich "Variationen" davon zu sein.

(3) Empfohlener Brennweitenbereich

Mit Hilfe der Empfehlung, dass der Abbildungsmaßstab zwischen 1 und 2 liegen sollte, kann man auch den für einen Sensor empfohlenen Brennweitenbereich bestimmen und so überprüfen, ob die eigenen Teleskope in einem geeigneten Brenweitenbereich liegen. Der Einfachheit halber verwende ich hier die Faustformel für den Abbildungsmaßstab, die ich entsprechend umforme:

Brennweite [mm] = 206,265 * Pixelgröße [µm] / Abbildungsmaßstab ["/Pixel] (Formel 6a; Faustformel)

Um den Brennweitenbereich zu bestimmen, setze ich nun nacheinander die Werte "2" und "1" in die Formel ein:

Brennweite [mm] = 206,265 * Pixelgröße [µm] / 2 bis 206,265 * Pixelgröße [µm] (Formel 5b/c; Faustformel)

Wenn man das Seeing mitberücksichtigen möchte (siehe Astronomy.tools), setzt man stattdessen die entsprechenden Werte für den Abbildungsmaßstab (obere und untere Grenze, z.B. 0,67 und 2 für "OK Seeing") in die Formel ein.

Beispiel

TLAPO1027: Brennweite 714 mm; PS 72/432: Brennweite 432 mm; Skymax-127: Brennweite 1500 mm; C8: Brennweite 2032 mm; C8R: Brennweite: 1280 mm; Pixelgröße Atik Infinity 6,45 [µm]
Teleskopbrennweite [mm] = 206,265 * 6,45 / 2 bis 206,265 * 6,45 = 665,2 bis 1330,4
>> Damit passen das TLAPO und das C8 mit f/6,3-Reduzierer in den empfohlenen Brennweitenbereich. Mit einem 0,5-fach-Reduzierer, sollten das C8 und auch das Skymax-127 passen.
Bei "OK Seeing " ist bei einem lokalen Seeing zwischen 2" und 4" ein Abbildungsmaßstab zwischen 0,67 und 2 (bzw. nach der "Halbierungsregel" von 1 bis 2) anzustreben.
Bei der Atik Infinity mit 6,45 [µm] Pixelgröße würde sich eine Brennweite zwischen 665,2 mm und 1330,4/1986 mm ergeben, was die Brennweite des TLAPO1027 von 714 mm Brennweite einschließt.
Vermutlich wäre eine Kamera mit kleineren Pixeln (z.B. ASI 224 mit 3,75 [µm]) jedoch besser für dieses Teleskop geeignet. Hier läge der Brennweitenbereich zwischen 387 mm und 773/1154 mm.

Anwendungsbeispiele

Im folgenden zeige ich Tabellen mit Rechenergebnissen auf der Grundlage der oben angegebenen Formeln, und zwar für meine und für einige andere Teleskope und für Kamerasensoren, die für mich relevant sind. Am Ende dieses Abschnitts versuche ich anhand einer reduzierten Tabelle die Eignung von drei Sensorgrößen für meine Teleskope zu überprüfen.

Berechnungen für meine und weitere Teleskope und einige Sensorgrößen

Die folgenden beiden Tabellen habe ich mit Hilfe eines Excel-Spreadsheets auf der Grundlage der angegebenen Formeln berechnet.

Optimale Pixelgröße

Die optimale Pixelgröße wird im Folgenden über die Auflösung nach Rayleigh (kein Seeing-Einfluss) und über das Seeing nach der Halbierungsregel berechnet:

Teleskop				Auflösung ["]			Optimale Pixelgröße [µm]
Beispiele	Brennweite [mm] (mm)	Öffnung [mm]	f	Nach Rayleigh	Nach Dawes	Nach Nyquist	Über Auflösung			Über Seeing (FWHM)				BS
Beispiele	Brennweite [mm] (mm)	Öffnung [mm]	f	Nach Rayleigh	Nach Dawes	Nach Nyquist	Rayl.	Daw.	Nyq.	2"	3"	4"	5"	"
Vespera	200	50	4	2,77	2,31	2,27	1,34	1,12	1,10	0,97	1,45	1,94	2,42	5,53
Stellina	400	80	5	1,73	1,45	1,42	1,68	1,40	1,38	1,94	2,91	3,88	4,85	3,46
APO 80/480	480	80	6	1,73	1,45	1,42	2,01	1,68	1,65	2,33	3,49	4,65	5,82	3,46
Heritage 100P	400	100	4	1,38	1,16	1,13	1,34	1,12	1,10	1,94	2,91	3,88	4,85	2,77
TLAPO1027	714	102	7	1,36	1,13	1,11	2,35	1,96	1,93	3,46	5,19	6,92	8,65	2,17
PS 72/432	432	72	6	1,92	1,61	1,58	2,01	1,68	1,65	2,09	3,14	4,19	5,24	3,84
eVscope, Newton 114/450	450	114	4	1,21	1,01	1,00	1,32	1,11	1,09	2,18	3,27	4,36	5,45	2,43
Newton 114/500	500	114	4,4	1,21	1,01	1,00	1,47	1,23	1,21	2,42	3,64	4,85	6,06	2,43
Heritage P130	650	130	5	1,06	0,89	0,87	1,68	1,40	1,38	3,15	4,73	6,30	7,88	2,13
6" Newton, Explorer 150PDS	750	150	5	0,92	0,77	0,76	1,68	1,40	1,38	3,64	5,45	7,27	9,09	1,84
6" Newton	900	150	6	0,92	0,77	0,76	2,01	1,68	1,65	4,36	6,54	8,73	10,91	1,84
6" Newton	1200	150	6	0,92	0,77	0,76	2,68	2,24	2,24	5,82	8,73	11,64	14,54	1,84
8" Newton, GSD 680	1200	200	6	0,69	0,58	0,57	2,01	1,68	1,65	5,82	8,73	11,64	14,54	1,38
Skymax-102	1300	102	12,7	1,36	1,13	1,11	4,28	3,58	3,40	6,30	9,45	12,61	15,76	2,71
Skymax-127	1500	127	11,8	1,09	0,91	0,89	3,96	3,31	3,25	7,27	10,91	14,54	18,18	2,18
Skymax-127R	750	127	5,9	1,09	0,91	0,89	1,98	1,66	1,62	3,64	5,45	7,27	9,09	2,18
Celestron C5	1250	125	10	1,11	0,93	0,91	3,36	2,81	2,75	6,06	9,09	12,12	15,15	2,21
Celestron C5R	787,5	125	6,3	1,11	0,93	0,91	2,12	1,77	1,73	3,82	5,73	7,64	9,55	2,21
Celestron C8	2032	203	10	0,68	0,57	0,56	3,36	2,81	2,75	9,85	14,78	19,70	24,63	1,36
Celestron C8R	1280	203	6,3	0,68	0,57	0,56	2,12	1,77	1,73	6,21	9,31	12,41	15,51	1,36
Celestron C8R2	1016	203	5	0,68	0,57	0,56	1,68	1,40	1,38	4,93	7,39	9,85	12,31	1,36
Celestron C14	3500	350	10	0,40	0,33	0,32	3,35	2,81	2,75	16,97	25,45	33,94	42,42	0,79

Abbildungsmaßstab

Für den Abbildungsmaßstab wurde die Faustformel verwendet, weil die exakte Formel dieselben Zahlenwerte liefert. Dabei wurde der genauere Wert von "206,265" anstelle von "206" verwendet.

Teleskop				Abbildungs- maßstab
Beispiele	Brennweite [mm] (mm)	Öffnung [mm]	f	Pixelgröße [µm]
Beispiele	Brennweite [mm] (mm)	Öffnung [mm]	f	2,4	2,9	3,75	4,63	6,45
Vespera	200	50	4	2,48	2,99	3,87	4,78	6,65
Stellina	400	80	5	1,24	1,50	1,93	2,39	3,33
APO 80/480	480	80	6	1,03	1,25	1,61	1,99	2,77
Heritage 100P	400	100	4	1,24	1,50	1,93	2,39	3,33
TLAPO1027	714	102	7	0,69	0,84	1,08	1,34	1,86
PS 72/432	432	72	6	1,15	1,38	1,79	2,21	3,08
eVscope, Newton 114/450	450	114	4	1,10	1,33	1,72	2,12	2,96
Newton 114/500	500	114	4,4	0,99	1,20	1,55	1,91	2,66
Heritage P130	650	130	5	0,76	0.92	1,19	1,47	2,05
6" Newton, Explorer 150PDS	750	150	5	0,66	0,80	1,03	1,27	1,77
6" Newton	900	150	6	0,55	0.66	0,86	1,06	1,48
6" Newton	1200	150	6	0,41	0,50	0,64	0,80	1,11
8" Newton, GSD 680	1200	200	6	0,41	0,50	0,64	0,80	1,11
Skymax-102	1300	102	12,7	0,38	0,46	0,59	0,73	1,02
Skymax-127	1500	127	11,8	0,33	0,40	0,52	0,64	0,89
Skymax-127R	750	127	5,9	0,66	0,80	1,03	1,27	1,77
Celestron C5	1250	125	10	0,40	0,48	0,62	0,76	1,06
Celestron C5R	787,5	125	6,3	0,63	0,76	0,98	1,21	1,69
Celestron C8	2032	203	10	0,24	0,29	0,38	0,47	0,65
Celestron C8R	1280	203	6,3	0,39	0,47	0,60	0,75	1,04
Celestron C8R2	1016	203	5	0,49	0,59	0,76	0,94	1,31
Celestron C14	3500	350	10	0,14	0,17	0,22	0,27	0,38

Richtwerte für den Abbildungsmaßstab für verschiedene Seeing-Bedingungen (Wiederholung)

Ein der obigen Tabelle entnommener Abbildungsmaßstab kann nun entweder mit dem "good sampling"-Wertebereich von 1-2 (oder dem Wert 1,5) verglichen werden oder mit den folgenden Abbildungsmaßstäben, die für unterschiedliche Seeing-Bedingungen angegeben werden (ich wiederhole die Tabelle, um den Vergleich zu erleichtern):

	Seeing		Abbildungsmaßstab
Seeing-Bedingungen	FWHM-Wert		Astronomy. tools		Halbierung- regel		Anmerkungen
	Von	Bis	Von	Bis	Von	Bis
Exceptional good seeing	0,5"	1"	0,17	0,5	0,25	0,5
Good seeing	1"	2"	0,33	1	0,5	1
OK seeing	2"	4"	0,67	2	1	2	Mittelwert = 3" für Mitteleuropa => 1,5
Poor seeing	4"	5"	1,33	2,5	2	2,5
Very poor seeing	5"	6"	1,67	3	2,5	3

Brennweitenbereiche für verschiedene Sensorgrößen

Die Brennweiten wurden für die Abbildungsmaßstäbe 2 und 1 berechnet.

Kamera/Teleskop	Pixelgröße	Brennweite (2)	Brennweite (1)	Bereich	Opt. Pixelgröße für eigenen Tubus	Passt für...
Kamera/Teleskop	µm	mm	mm	mm	µm	Passt für...
Vespera	2,9	299,1	598,2	300-600	1,34	PS72/432, APO 80/480
Stellina	2,4	247,5	495,0	250-500	1,68	PS72/432, APO 80/480
eVscope, ASI120, ASI224	3,75	386,7	773,5	400-800	1,32	TLAPO1027, SM127R, PS72/432, APO 80/480, C5R
ASI294	4,63	477,5	955,0	450-1000	abhängig von der Tubusbrennweite	TLAPO1027, SM127R, C5R
Atik Infinity	6,45	665,2	1330,4	650-1300	abhängig von der Tubusbrennweite	TLAPO1027, C8R, C8R2, SM127R, C5, C5R

Stattdessen können die Brennweiten auch für die Grenzwerte der jeweiligen Seeing-Bedingungen berechnet werden.

Anwendung auf meine Teleskope

In Folgenden habe ich die obige Tabelle auf meine Teleskope reduziert und versucht, die "Regeln" anzuwenden. Bei der optimalen Pixelgröße hebe ich die 3"-Spalte hervor (und leicht die 2"- und 4"-Spalten); beim Abbildungsmaßstab hinterlege ich geeignete Zellen farblich und hebe den Sensor meiner Atik Infinity-Kamera hervor.

Teleskop

Auflösung ["]

Optimale Pixelgröße [µm]

Abbildungs-
maßstab ["/Pixel]

Meine Teleskope

Brennw.
[mm] (mm)

Öffnung
[mm]

Nach

Rayleigh

Über
Auflösung

Über Seeing (FWHM)

Für Pixelgröße [µm]

2,4

2,9

3,75

4,63

6,45

Vespera

200

2,77

1,34

0,97

1,45

1,94

2,42

5,53

2,48

2,99

3,87

4,78

6,65

TLAPO1027

714

102

1,36

2,35

3,46

5,19

6,92

8,65

2,17

0,69

0,84

1,08

1,34

1,86

PS 72/432

432

1,92

2,01

2,09

3,14

4,19

5,24

3,84

1,15

1,38

1,79

2,21

3,08

eVscope (2)

450

114

1,21

1,32

2,18

3,27

4,36

5,45

2,43

1,10

1,33

1,72

2,12

2,96

Celestron C5

1250

125

1,11

3,36

6,06

9,09

12,12

15,15

2,21

0,40

0,48

0,62

0,76

1,06

Celestron C5R

787,5

125

6,3

1,11

2,12

3,82

5,73

7,64

9,55

2,21

0,63

0,76

0,98

1,21

1,69

Celestron C8

2032

203

0,68

3,36

9,85

14,78

19,70

24,63

1,36

0,24

0,29

0,38

0,47

0,65

Celestron C8R

1280

203

6,3

0,68

2,12

6,21

9,31

12,41

15,51

1,36

0,39

0,47

0,60

0,75

1,04

Celestron C8R2

1016

203

0,68

1,68

4,93

7,39

9,85

12,31

1,36

0,49

0,59

0,76

0,94

1,31

Die Zellen beim Abbildungsmaßstab habe ich cyan hinterlegt, wenn sie im Bereich zwischen 1 und 2 liegen (Halbierungsregel); Zellen mit Werten zwischen 0,66 und 1 habe ich blau hinterlegt ("Tweak" nach Astronomy.tools). Textfarben sollen relevante Daten hervorheben.

Daraus folgere ich:

TLAPO1027: Die Atik Infinity (6,45 µm) passt bei OK Seeing ganz gut auf diesen Refraktor; der Sensor der ASI224 scheint mit 3,75 µm auch recht gut zu passen, vor allem unter besseren Seeing-Bedingungen.
PS 72/432: Hier passt der Sensor der ASI224 (3,75 µm) optimal; der 2,4 µm-Sensor wäre auch noch akzeptabel.
eVscope: Der verwendete Sony-Sensor scheint für dieses Teleskop optimal gewählt.
C5: Die Atik Infinity würde gerade noch so passen.
C5R: Die Atik Infinity würde bei Verwendung eines 0,63-fach Reduzierers passen.
C8: Hier ginge die Atik Infinity noch so gerade, vor allem bei gutem Seeing.
C8R: Mit dem f/6,3-Reducer/Corrector passt die Atik Infinity auf das C8.
C8R2: Mit dem 0,5-fach-Reduzierer passt die Atik Infinity noch besser auf das C8.

Die Kombination beider Reduzierer passt am C8 auch, wie ich herausgefunden habe.

In kurz: am TLAPO1027 passen die ASI224 (besser bei gutem Seeing) und die Atik Infinity, am PS 72/432 die ASI 224, am C5 und C8 die Atik Infinity, aber eigentlich nur mit Brennweitenreduzierern.

Fazit

Ich hoffe, dass ich alles einigermaßen richtig und verständlich dargestellt habe, so dass andere Hobby-Astronomen die Formeln auch auf ihre eigene Ausrüstung anwenden können. Wer es einfach haben möchte, braucht nur "Für Eilige" zu lesen...

Anhang: Sammlung der Faustformeln

Die im folgenden angegebenen Faustformeln beruhen auf Licht der Wellenlänge 550 nm.

Auflösungsvermögen

Auf der Basis der Grenzfrequenz		Nach Dawes		Nach Rayleigh
Auflösungsvermögen [rad] = 0,00055 / Öffnung [mm] Auflösungsvermögen ["] = 113,45 / Öffnung [mm]		= 0,00056 / Öffnung [mm] = 115,7 / Öffnung [mm]		= 0,00067 / Öffnung [mm] = 138,4 / Öffnung [mm]

Pixelgröße und Teleskopbrennweite (basierend auf dem Auflösungsvermögen)

Auf der Basis der Grenzfrequenz		Nach Dawes		Nach Rayleigh
Pixelgröße [µm] = Öffnungsverhältnis * 0,275 Brennweite [mm] = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,275		= Öffnungsverhältnis * 0,2805 = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,2805		= Öffnungsverhältnis * 0,3355 = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,3355

Pixelgröße und Teleskopbrennweite (basierend auf dem Seeing)

Pixelgröße [µm] = Brennweite [mm] * FWHM ["] / 412,5
Brennweite [mm] = Pixelgröße [µm] / FWHM ["] * 412,5

Beugungsscheibchen (Airy Disk)

D [µm] = 2,44 * 0,55 * Öffnungsverhältnis = 1,344 * Öffnungsverhältnis
D ["] = 276,73 / Öffnung [mm]

Abbildungsmaßstab

Abbildungsmaßstab ["/Pixel] = 206,265 * Pixelgröße [µm] / Brennweite [mm]

DSO-Fotografie für Dummies - Teleskop und Sensor

Für Eilige...

Einführung

Fragen...

Antworten

Digitalisierung...

Die Antwort, zunächst theoretisch und allgemein...

Und nun zur Praxis!

Ausblick

Deep Sky-Aufnahmen

(1) Pixelgröße

Abhängig vom Seeing

Abhängig vom Beugungsscheibchen

(2) Abbildungsmaßstab

Für "Good Sampling"

Abhänging vom Seeing

Astronomy.tool "Tweak"

Woher kommen die Empfehlungen für den Wert des Abbildungsmaßstabes?

(3) Empfohlener Brennweitenbereich

Anwendungsbeispiele

Berechnungen für meine und weitere Teleskope und einige Sensorgrößen

Optimale Pixelgröße

Abbildungsmaßstab

Richtwerte für den Abbildungsmaßstab für verschiedene Seeing-Bedingungen (Wiederholung)

Brennweitenbereiche für verschiedene Sensorgrößen

Anwendung auf meine Teleskope

Fazit

Links

Anhang: Sammlung der Faustformeln

Auflösungsvermögen

Pixelgröße und Teleskopbrennweite (basierend auf dem Auflösungsvermögen)

Pixelgröße und Teleskopbrennweite (basierend auf dem Seeing)

Beugungsscheibchen (Airy Disk)

Abbildungsmaßstab