Teleskop und Sensor

Einführung | Deep Sky-Aufnahmen | Mond- und Planetenaufnahmen | Anwendungsbeispiele | Fazit | Links | Anhang: Sammlung der Faustformeln | Anhang: Herleitung der Formeln

Auf dieser Seite möchte ich beschreiben, wie Teleskop und Kamerasensor aufeinander abgestimmt werden können und welche Unterschiede es zwischen Deep-Sky-Aufnahmen einerseits und Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen andererseits gibt. Zunächst stelle ich jedoch in der Einführung den Hintergrund in hoffentlich verständlicher Form dar.

Hinweise

Für Eilige...

Die Güte der Anpassung eines Kamerasensors mit vorgegebener Pixelgröße an eine bestimmteTeleskopbrennweite kann mithilfe des Abbildungsmaßstabes beurteilt werden (Faustformel):

Der Abbildungsmaßstab sollte zwischen den Richtwerten 1 und 2 liegen (oft wird auch 1,5 genannt). Wenn man das Seeing berücksichtigen möchte, halbiert man den FWHM-Wert ["] für das lokale Seeing und nimmt diesen als anzustrebenden Richtwert oder Richtwertebereich:

Die Faustformeln, die auf dieser Seite verwendet/abgeleitet werden, finden sich zusammengestellt in Anhang: Sammlung der Faustformeln.

 

Einführung

Fragen...

Auf dem Markt gibt es eine große Zahl von Astronomie-Kameras unterschiedlicher Hersteller. Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal ist die Größe der Zellen des Kamerasensors, auch Pixelgröße genannt. Hobby-Astronomen, die in die Astrofotografie oder die EAA (Electronically Augmented Astronomy) einsteigen oder auch eine weitere Astronomie-Kamera kaufen wollen, stehen somit vor der Frage: Welche Pixelgröße sollte der Sensor einer solchen Kamera haben, damit er optimal zur Brennweite ihres Teleskops oder ihrer Teleskope paßt? Umgekehrt stellt sich bei gegebener Kamera, also bei vorgegebener Pixelgröße des Sensors, die Frage, welche Brennweite ihre Teleskope haben sollten, damit sie optimal dazu passen. Das wirft eine Reihe von weiteren Fragen auf: Warum fragt man gerade nach der Pixelgröße? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "optimale Anpassung"? Und wie findet man sie? Diese Fragen möchte ich im Folgenden versuchen zu beantworten!

Antworten

Digitalisierung...

Beim Einsatz einer digitalen Kamera an einem Teleskop wird ein analoges Signal, das optische Teleskopbild, in ein digitales, nämlich das vom Kamerasensor erzeugte Bild, umgewandelt. Diese Umwandlung, auch Digitalisierung genannt, sollte idealerweise verlustfrei geschehen, so dass in der digitalen Version auch noch feine oder sogar feinste Details des Originals erhalten bleiben. Wenn man zum Beispiel Musik für eine CD digitalisiert, geht es darum, alle hörbaren Frequenzen, also alle Frequenzen zwischen 20 und 20.000 Herz, zu übertragen. Bei der Digitalisierung solcher zeitlichen Signale wird das analoge Signal in schneller zeitlicher Abfolge gemessen (abgetastet, "gesampled"). Räumliche Signale, wie zum Beispiel Bilder, werden dagegen "nebeneinander", also räumlich verteilt und oft zeitlich parallel gemessen (abgetastet, "gesampled"). Die digitale Fotografie, bei der zwei räumliche Dimensionen abzubilden sind, realisiert das "räumliche Nebeneinander" durch rechteckige Sensoren, die aus einer Matrix winziger lichtempfindlicher Zellen, Pixel (picture element) genannt, aufgebaut sind. Bei Kameras für die Astrofotografie spielt neben der Anzahl der Pixel deren Größe eine zentrale Rolle, denn sie entscheidet, ob eine Digitalisierung verlustfrei geschieht oder nicht. Deshalb also die Frage nach der Pixelgröße! Details werden weiter unten erklärt!

Aber was heißt "verlustfreie Digitalisierung"? Dies bedeutet, dass die Leistung des verwendeten Teleskops nicht durch die Digitalisierung eingeschränkt wird. Oder konkreter: Objekte und Strukturen, die vom Teleskop gerade noch abgebildet oder "aufgelöst" werden können, sollten erhalten bleiben. Wie groß diese Strukturen sind, wird durch das Auflösungsvermögen des Teleskops (von dessen Öffnung es abhängt) formelmäßig beschrieben. Also gilt es, das Auflösungsvermögen eines Teleskops mit der Pixelgröße des Sensors in Beziehung zu setzen. Dafür muss ich etwas in die Theorie einsteigen!

Die Antwort, zunächst theoretisch und allgemein...

Das Nyquist-Theorem beantwortet die Frage nach einer verlustfreien Digitalisierung in allgemeiner Form: Die "Abtastfrequenz" (sampling rate) muss mindestens doppelt so hoch sein wie die die höchste zu übertragende Frequenz. Bei CDs wählt man deshalb 44 kHz, um Frequenzen bis 20 kHz sicher übertragen zu können. Bei räumlichen Signalen (man spricht von sogenannten "Ortsfrequenzen", für Laien schwerer vorstellbar...) muss also das "Empfangsgitter" aus Sensorzellen mindestens doppelt so fein sein wie die feinsten Details des Originalbildes, die noch erhalten bleiben sollen.

Für Astronomiekameras heißt dies, dass die kleinsten abbildbaren Objekte/Strukturen auf mindestens zwei Pixel fallen müssen, damit sie "optimal" abgebildet werden (wenn sie auf drei Pixel fallen, werden Sterne noch etwas runder...). Daraus folgt, das ein Pixel halb so groß wie das Auflösungsvermögen des verwendeten Teleskops sein muss, damit eine verlustfreie Digitalisierung gewährleistet ist.

Und nun zur Praxis!

Mit Hilfe des Nyquist-Theorems haben wir "im Prinzip" die Antwort auf die anfangs gestellte Frage erhalten! Allerdings ist diese Antwort in der Praxis nicht immer relevant, denn bei Teleskopen sind noch die Beugung und die Luftunruhe (Seeing) zu beachten. Beide können größer als das Auflösungsvermögen des Teleskops sein und müssen in einem solchen Fall anstelle der Auflösung als Bezugsgröße für die Pixelgröße verwendet werden. Außerdem gibt es noch unterschiedliche "Interpretationen" des Auflösungsvermögens (Nyquist-Grenzfrequenz, Auflösungsvermögen nach Dawes und Rayleigh), die auf unterschiedlichen Auflösungskriterien beruhen und zu leicht unterschiedlichen Zahlenwerten führen.

Damit stellt sich die Frage: Wann nehme ich welche Bezugsgröße für die Pixelgröße? Für die Beantwortung dieser Frage habe ich zwei Ansätze gefunden, die sich zwar unterscheiden, aber im Endeffekt auf das gleiche Ergebnis hinauslaufen, nämlich zwischen DSO-Fotografie und der Fotografie von Mond, Sonne und Planeten zu unterscheiden. Während die meisten Autoren eine Unterscheidung auf der Grundlage von Langzeit- gegenüber Kurzzeitaufnahmen machen, unterscheidet der deutsche Optik-Designer Gerd Düring zwischen den Zielen, ein möglichst helles Bild zu erhalten, und, eine möglichst hohe Auflösung zu erreichen. Hier zunächst ein kurzer Überblick über beide Ansätze:

  DSO-Fotografie Fotografie von Mond, Sonne und Planeten
Helligkeit der Objekte gering hoch
Belichtungszeit lang (Langzeitaufnahmen) kurz (Kurzzeitaufnahmen)
(1) Effekt der Belichtungszeit Aufgrund langer Belichtungszeiten bläht die Luftunruhe (Seeing) Sterne auf; deshalb muss statt der Auflösung das lokale Seeing (als FWHM-Wert) verwendet werden (oder das Beugungsscheibchen, wenn es noch größer ist). Kurze Belichtungszeiten "frieren" die Luftunruhe ein; deshalb kann mit dem Auflösungsvermögen bzw. der Nyquist-Grenzfrequenz gerechnet werden.
(2) Ziel (nach Düring) Ein möglichst helles Bild (auf Kosten der Auflösung), um lichtschwache Details noch sichtbar zu machen Eine möglichst hohe Auflösung (auf Kosten der Helligkeit, was aber wegen der Helligkeit der Objekte kein Problem darstellt), um feinste Details sichtbar zu machen

Um die beiden Anwendungsfälle DSO gegen Planeten/Nond/Sonne einander ausführlicher gegenüberzustellen, habe ich eine Tabelle angelegt, die sich an einem Posting von Gerd Düring in astronomie.de-Forum sowie an persönlicher Kommunikation mit ihm orientiert und die ich noch um andere Gesichtspunkte und um Formeln erweitert habe. Hier liegt die Betonung primär auf den Zielen, die Gerd Dürung definiert hat:

Item DSO Planeten, Mond, Sonne Kommentare, Folgerungen
Ziel Bei DSO-Fotografie geht es darum besonders lichtschwache Details noch sichtbar zu machen. Sie sind nämlich in der Regel nur deshalb nicht sichtbar weil sie zu dunkel sind und nicht etwa, weil es an Auflösung fehlt*.

Ziel bei DSO-Fotografie ist es also ein möglichst helles Bild zu bekommen damit bei gegebener Belichtungszeit möglichst viele lichtschwache Details sichtbar werden. Ein helles Bild bedingt aber eine kleine Abbildung und damit eine geringere Auflösung des Bildes.

*) Eindrucksvoll sieht man das, wenn man eine sehr kurze Belichtung mit einer sehr lang belichteten Aufnahme vergleicht. Den enormen Zugewinn an Details der langen Belichtung verdankt man ausschließlich dem Zugewinn an Helligkeit und nicht etwa einem Zugewinn an Auflösung des Setups, denn das ist ja in beiden Fällen identisch.

Hier ist eine möglichst hohe Auflösung das Ziel, was im Gegenzug ein dunkles Bild bedeutet.

Das ist jedoch kein Problem, weil Mond und Planeten hell genug sind, um auch bei dunklem Bild, also bei hoher Öffnungszahl, ausreichend hell zu erscheinen. Details die hier nicht sichtbar sind, sind das nicht etwa, weil sie zu dunkel sind, sondern weil sie nicht aufgelöst werden.

 

 

 

 Es hat also gute Gründe warum man für DSO möglichst kleine Öffnungszahlen verwendet, die ein helles Bild, aber dafür geringere Auflösung des Bildes bieten, und für Planeten wesentlich höhere Öffnungszahlen, die zwar ein dunkles Bild, aber dafür mehr Auflösung des Bildes bieten.

>> Daher ergeben sich unterschiedliche Öffnungszahlen bei gegebener Pixelgröße des Sensors je nach Zielsetzung DSO- oder Planetenfotografie.

Nyquist-Theorem Man wendet das Nyquist-Theorem (siehe Kommentar rechts) in beiden Fällen an, aufgrund der jeweiligen Zielstellung jedoch völlig unterschiedlich:
DSO-Fotografie: maximale Helligkeit des Bildes

Bei DSO-Fotografie soll das Bild möglichst hell sein, aber die Sterne sollen nicht pixelig erscheinen.

Deshalb bezieht man das Nyquist-Theorem hier auf das Beugungsscheibchen oder auf das FWHM (Seeing), je nachdem, was größer ist, und bringt die Sensorgröße damit in Einklang (das BS/FWHM-Scheibchen soll auf zwei Pixel fallen).

 Planetenfotografie: maximale Auflösung des Bildes

Hier soll das Bild so detailreich wie möglich sein.

Hier bezieht man das Nyquist-Theorem hier auf das Auflösungsvermögen der Optik, genauer gesagt auf die Grenzfrequenz der Optik, und bringt die Grenzfrequenz des Sensors damit in Einklang (das Auflösungsvermögen/die Grenzfrequenz soll auf zwei Pixel fallen).

 Das Nyquist-Theorem besagt, dass das kleinste zu übertragende Signal auf zwei Pixel fallen soll, damit das Sinal verlustfrei wiedergegeben werden kann.

In den beiden Anwendungsfällen ist dieses "kleinste zu übertragende" Signal unterschiedlich.

 

Luftunruhe (Seeing) Die Luft neigt zu Unruhe und Turbulenzen, auf Englisch spricht man von "Seeing".

Bei Aufnahmen mit längeren Belichtungszeiten, wie bei DSO-Aufnahmen, wirkt sich die Luftunruhe aus und bläht die Sternabbildungen mehr oder weniger stark auf.

In der Praxis wirkt sich die Luftunruhe bei Kurzzeitaufnahmen (Mond, Sonne, Planeten) nicht aus, weil die Turbulenzen in der Atmosphäre gewissermaßen "eingefroren" werden.

Hier also nucht relevant!

>> Bei der DSO-Fotografie spielt die theoretisch oder empirisch ermittelte Teleskopauflösung keine Rolle, sondern entweder der größere Seeing-Wert (als FWHM-Wert), der im Prinzip die Größe eines "aufgeblähten Sternes" angibt, oder das Beugungsscheibchen, je nachdem welcher Wert größer ist.
Beugungsscheibchen Das Beugungsscheibchen (Airy Disk) hat einen Durchmesser, der der doppelten Rayleigh-Auflösung entspricht; Details siehe im Folgenden. Es ist umso kleiner, je größer die Öffnung des Teleskops ist; daher spielt es nur bei kurzbrennweitigen Teleskopen eine Rolle, weil es dort größer als gängige FWHM-Werte sein kann. Irrelevant >> Das Beugungsscheibchen spielt es nur bei kurzbrennweitigen Teleskopen eine Rolle, weil es dort größer als der FWHM-Wert sein kann.
Anwendung des Nyquist-Theorems: Auflösungsvermögen Auflösungsvermögen (Durchmesser des BS)
= 2,44 * 206265 * λ / D
= 2,44 * 206265 * 0,00055mm / D = 276,8 / D

BS = Beugungsscheibchen

Der Faktor 206265 ist die Umrechnung von Bogenmaß in Winkelsekunden; Lambda = Wellenlänge = 550 nm = 0,00055 mm; D = Öffnung in mm

Das Auflösungsvermögen auf der Grundlage des Durchmessers des Beugungsscheibchens wird nur eingesetzt, wenn das Beugungsscheibchen größer ist als der Wert für das lokale Seeing (FWHM); es wird stets der größere Wert gewählt, weil dieser den anderen Wert "überdeckt".

Hinweis: Das Beugungsscheibchen ist immer gößer als die Grenzfrequenz (Faktor 2,44) oder die Auflösungen nach Dawes (Faktor 2,4) und Rayleigh (Faktor 2).

Auflösungsvermögen (Grenzfrequenz)
= 206265 * λ / D
= 206265 * 0,00055mm / D = 113,45 / D

Auflösungsvermögen (Dawes)
= 1,02 * 206265 * λ / D
=1,02 * 206265 * 0,00055mm / D
= 115,7 / D

Auflösungsvermögen (Rayleigh; Radius des BS)
= 1,22 * 206265 x λ / D
=1,22 * 206265 * 0,00055mm / D
= 138,4 / D

Der Faktor 206265 ist die Umrechnung von Bogenmaß in Winkelsekunden; λ = Wellenlänge = 550 nm = 0,00055 mm; D = Öffnung in mm

Das Auflösungsvermögen (Grenzfrequenz) der Optik ist also um den Faktor 2,44 kleiner als der Durchmesser des Beugungsscheibchens.
Das empirische ermittelte Dawes-Kriterium für das Auflösungsvermögen liegt praktisch bei der Grenzfrequenz (Faktor 1,02, der nicht immer angegeben wird).
Das formale Rayleigh-Kriterium für das Auflösungsvermögen (Radius des BS) ist um den Faktor 2 kleiner als der Durchmesser des BS und um den Faktor 1,22 größer als die Grenzfrequenz.

>> Im Vergleich zum empirischen Dawes-Kriterium unterschätzt das formale Rayleigh-Kriterium das Auflösungsvermögen um den Faktor 1,22 (oder 1,2): beim Dawes-Kriterium überlappen die beiden Beugungsscheibchen so stark, dass fast keine Einsenkung zwischen den Maxima zu erkennen ist, während beim Rayleigh-Kriterium die Einsenkung etwa 26 % beträgt.
>> Diese Unterschätzung ist auch der Grund, warum Gerd Düring bei Planeten/Mond/Sonne mit der Grenzfrequenz rechnet.

Ausblick

Im Folgenden stelle ich einige einfache Formeln für die optimale Anpassung von Teleskopen und Sensoren vor; Ableitungen zu den Formeln finden sich im Anhang. Dabei unterscheide ich zwischen den beiden Fällen Deep-Sky-Fotografie (Langzeitaufnahmen) und Mond-, Sonnen- und Planetenfotografie (Kurzzeitaufnahmen), auch wenn die "Grundformeln" auf der gleichen Grundlage beruhen.

 

Deep Sky-Aufnahmen

Im folgenden stelle ich Formeln für die Deep-Sky-Fotografie vor, zu denen auch einfache "Faustformeln" für die Praxis gibt, die ich hier angebe (die ausführlichen Formeln befinden sich im Anhang):

  1. Wenn man nach einer passenden Kamera für Deep-Sky-Aufnahmen sucht, wird man die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite verwenden (Formeln 2a/b).
  2. Ist eine Kamera bereits vorhanden, wird man dagegen den Abbildungsmaßstab für verschiedene Teleskope im eigenen Teleskop-Park bestimmen wollen (Formel 4); auch hierbei gibt es die Möglichkeit, den Seeing-Einfluss zu berücksichtigen (Formeln 5a/b).
  3. Schließlich kann man auch den für einen Sensor empfohlenen Brennweitenbereich für Teleskope mit Hilfes des Abbildungsmaßstabes bestimmen (mit und ohne Seeing-Einfluss; Formeln 6a-c).

(1) Pixelgröße

Bei DSO-Aufnahmen wird üblicherweise der Einfluss des Seeings bei der Anpassung des Kamerasensors an ein Teleskop berücksichtigt. Außerdem sollte man die Größe des Beugungsscheibchens bestimmen, denn dieses kann größer sein als die aktuellen Seeing-Werte, gemessen als FWHM (in Sekunden). Dann ist der größere Wert, also die Größe des Beugungsscheibchens, anzusetzen. Zum Vergleich mit dem FWHM-Wert benötigt man die Größe des Beugungsscheibchens in Sekunden, für die Bestimmung der Pixelgröße, seine Größe in µm. Der letztere Wert muss dann noch halbiert werden, um auf die Pixelgröße des Sensors zu kommen, weil sich dieser auf zwei Pixel bezieht.

Ahängig vom Seeing

Bei DSO-Aufnahmen setzt man anstelle der Auflösung das lokale Seeing als FWHM-Wert (in Bogensekunden) in die Formel für die Pixelgröße oder Teleskopbrennweite ein; hier sind die Faustformeln (Ableitung und exakte Formeln siehe Anhang):

Beispiel (TLAPO1027)

Abhängig vom Beugungsscheibchen

Das Beugungsscheibchen (Airy Disk) bestimmt die minimale Größe, mit der Sterne in einem Teleskop abgebildet werden. Sein Durchmesser D (Länge, Winkelmaß) berechnet sich nach den folgenden Faustformeln (ausführlichere Formeln siehe Anhang):

Oft wird auch nur der gerundete Wert "277" verwendet. Das Beugungsscheibchen ist übrigens doppelt so groß wie das Auflösungsvermögen nach Rayleigh (auf dem es beruht), weil sich das Auflösungsvermögen auf den Radius bezieht, während beim Beugungsscheibchen typischerweise der Durchmesser verwendet wird.

Bei der Beobachtung von DSO kann das Beugungsscheibchen größer sein als die aktuellen Seeing-Werte, gemessen als FWHM (in Sekunden). In einem solchen Fall ist der größere Wert, also die Größe des Beugungsscheibchens anzusetzen. Zum Vergleich mit dem FWHM-Wert benötigt man die Größe des Beugungsscheibchens in Sekunden, für die Bestimmung der Pixelgröße, seine Größe in µm. Der letztere Wert muss dann noch halbiert werden, um auf die Pixelgröße des Sensors zu kommen, weil er sich auf zwei Pixel bezieht.

Beispiel (Vaonis Vespera)

(2) Abbildungsmaßstab

Der Abbildungsmaßstab (in Bogensekunden/Pixel; Herleitung der Formeln siehe Anhang) wird als Maß für die Güte der Anpassung von Teleskop und Sensor herangezogen, wenn bereits ein Sensor vorliegt. Je nach Wert des Abbildungsmaßstabes unterscheidet man zwischen "oversampling", "undersampling" und "good sampling"*. "Good sampling" entspricht einer optimalen Anpassung, für die es Richtwerte des Abbildungsmaßstabes gibt, die sich für Deep Sky- und für Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen unterscheiden. Bei letzteren wird auch oft "oversampling" (kleinere als die "idealen" Werte) verwendet. Ein "undersampling" (größere als die "idealen" Werte) gilt es dagegen auf jedem Fall zu vermeiden.
*) Siehe das Glossar von Baader Planetarium, Artikel Der Begriff sampling, over,- under- und good sampling (www.sbig.de/universitaet/glossar-htm/sampling.htm) mit Beispielbildern für diese Samplingvarianten.

Für "Good Sampling"

Oft wird auch nur der gerundete Wert "206" verwendet.

Anhand dieses Wertes wird die Güte der Anpassung einer Kamerasensor/Teleskop-Kombination beurteilt. Für den Deep-Sky-Bereich gilt als Faustregel für "good sampling", einen Abbildungsmaßstab von ca. 1 bis 2 Sekunden pro Pixel anzustreben (andere Angaben, die ich gefunden habe sind: 1,25, 1,5, 1,5-2, 1-2,5 und sogar 0,7-3)*. Bei Werten für den Abbildungsmaßstab über 2 spricht man von "undersampling", bei Werten unter 1 von "oversampling".

*) Begründungen für diese Richtwerte werden üblicherweise nicht gegeben, aber offensichtlich beruhen sie auf typischen Werten für das Seeing (in Mitteleuropa). Dazu weiter unten mehr!

Beispiel

Abhängig vom Seeing

Laut H.J. Strauch halbiert man in der Praxis einfach den Seeing-Wert (FWHM) und wählt diesen als anzustrebenden Abbildungsmaßstab. Im Prinzip ist dies die Anwendung des Nyquist-Theorems, welches besagt, dass die Abtastrate (sampling rate) die doppelte Frequenz des abzutastenden analogen Signals haben sollte. Man prüft also den den nach Formel 4 berechneten Abbildungsmaßstab nicht daraufhin, ob er zwischen den "idealen" Werten 1 und 2 liegt, sondern ob er in der Nähe des aus dem FWHM-Wertes bestimmten Abbildungsmaßstabes liegt. Dazu weiter unten mehr!

Um die Pixelgröße des Sensors bei vorgegebener Teleskopbrennweite zu bestimmen, muss die Formel für den Abbildungsmaßstab umgeformt werden; entsprechendes gilt für die Teleskopbrennweite bei vorgegebener Pixelgröße:

Beispiel (TLAPO1027)

Astronomy.tool "Tweak"

Astronomy.tools schreibt zur Abtastrate (sampling rate): "There is some debate around using this for modern CCD sensors because they use square pixels, and we want to image round stars. Using typical seeing at 4" FWHM, Nyquist's formula would suggest each pixel has 2" resolution which would mean a star could fall on just one pixel, or it might illuminate a 2 x 2 array, so be captured as a square." (Es gibt einige Diskussionen darüber, ob dies auf moderne CCD-Sensoren anwendbar ist, weil sie quadratische Pixel verwenden, und wir wollen runde Sterne abbilden. Unter Verwendung des typischen Seeings bei 4" FWHM würde die Formel von Nyquist vorschlagen, dass jedes Pixel eine Auflösung von 2" hat, was bedeuten würde, dass ein Stern auf nur genau ein Pixel fallen könnte, oder er könnte ein 2 x 2-Array beleuchten, also als Quadrat erfasst werden.) Um "runde" Sterne zu erhalten, schlagen die Autoren der Website vor, mit der 3-fachen Frequenz des analogen Signals abzutasten - allerdings tun sie dies nur teilweise.

Zunächst einmal ordnen die Autoren den unterschiedlichen Seeing-Bedingungen FWHM-Wertebereiche zu und gelangen per Division dieser Werte durch 3 oder 2 zu "empfohlenen" Wertebereichen für den Abbildungsmaßstab (den sie "pixel size" nennen...). Dabei teilen sie den FWHM-Wert an der Untergrenze nicht durch 2, sondern durch 3. Dies führt zu der folgenden Tabelle, in die ich auch das "Standardverfahren Halbierung" aufgenommen habe:

  Seeing
Abbildungsmaßstab
  
Seeing-Bedingungen FWHM-Wert Astronomy.tools H.J. Strauch* Anmerkungen
  Von Bis Von Bis Von Bis  
Exceptional good seeing 0,5" 1" 0,17 0,5 0,25 0,5  
Good seeing 1" 2" 0,33 1 0,5 1  
OK seeing 2" 4" 0,67 2 1 2 Mittelwert = 3" für Mitteleuropa => 1,5 (H.J. Strauch)
Poor seeing 4" 5" 1,33 2,5 2 2,5  
Very poor seeing 5" 6" 1,67 3 2,5 3  

*) Nach der "Halbierungsregel" (von H.J. Strauch angegeben), wenn man die Seeing-Bereiche von Astronomy.tools zugrunde legt.

Mit einem interaktiven Rechner kann man auf der Astronomy.tools-Website den Abbildungmaßstab für seine Konfiguration berechnen (er rechnet nach der oben angegebenen Faustformel) und in Beziehung zu den Werten des lokalen Seeings setzen. Man prüft also nicht, ob dieser Wert zwischen 1 und 2 (oder was auch immer angegeben wird...) liegt, sondern ob er innerhalb der Grenzen liegt, welche die jeweiligen Seeing-Bedingungen vorgeben.

Beispiel

Woher kommen die Empfehlungen für den Wert des Abbildungsmaßstabes?

Wie schon erwähnt, werden bei den Internet-Quellen üblicherweise keine Begründungen für die angegebenen "idealen" Werte des Abbildungsmaßstabes gegeben. Mein Verdacht, dass sie auf typischen Werten für das Seeing in Mitteleuropa beruhen, scheint sich anhand der oben gezeigten Tabelle zu bestätigen.

Der oft genannte Wertebereich von 1-2 für den Abbildungsmaßstab entspricht demnach dem "OK Seeing", der ebenfalls oft genannte Wert von 1,5 dem "mittleren Seeing" von 3", das H.J. Strauch für Mitteleuropa angibt. Andere Werte oder Wertebereiche scheinen lediglich "Variationen" davon zu sein. Insofern ist es wohl am besten, den Abbildungsmaßstab für seine eigene oder angestrebte Konfiguration und das erwartete Seeing zu berechnen und mit der obigen Tabelle zu vergleichen. Ob man sich dann der Interpretation von Astronomy.tools oder der von H.J. Strauch und anderen anschließt, bleibt jedem selbst überlassen...

(3) Empfohlener Brennweitenbereich

Mit Hilfe der Faustregel, dass der Abbildungsmaßstab zwischen 1 und 2 liegen sollte, kann man auch den für einen Sensor empfohlenen Brennweitenbereich bestimmen und so überprüfen, ob die eigenen Teleskope in einem geeigneten Brenweitenbereich liegen. Der Einfachheit halber verwende ich hier die Faustformel für den Abbildungsmaßstab, die ich entsprechend umforme:

Um den Brennweitenbereich zu bestimmen, setze ich nun nacheinander die Werte "2" und "1" in die Formel ein:

Wenn man das Seeing mitberücksichtigen möchte (siehe Astronomy.tools), setzt man stattdessen die entsprechenden Werte für den Abbildungsmaßstab (obere und untere Grenze, z.B. 0,67 und 2 für "OK Seeing") in die Formel ein.

Beispiel

 

Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen

Im folgenden stelle ich Formeln für die Mond-, Sonnen- und Planeten-Fotografie vor, zu denen es oft auch "Faustformeln" gibt:

  1. Wenn man nach einer passenden Kamera für Deep-Sky-Aufnahmen sucht, wird man die Formeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite verwenden (Formeln 1a/b). Ist eine Kamera bereits vorhanden, wird man dagegen den Abbildungsmaßstab für verschiedene Teleskope im eigenen Teleskop-Park bestimmen wollen (Formel 4)
  2. Weiterhin stelle ich Formeln für den Fall vor, dass mit Oversampling gearbeitet werden soll, also viele Details gezeigt werden sollen (Formeln 7a/b, 8).

(1) Good Sampling

Pixelgröße, Teleskopbrennweite

Wie oben schon geschrieben, werden beim Fotografieren dieser Objekte mit Belichtungszeiten von Bruchteilen einer Sekunde die Turbulenzen in der Atmosphäre praktisch "eingefroren". Dies erlaubt es, mit der theoretischen Auflösung des Teleskops zu rechnen; hier nur die Faustformeln:

Auf der Basis der Grenzfrequenz   Nach Dawes   Nach Rayleigh
  • Pixelgröße [µm] = Öffnungsverhältnis * 0,275
  • Brennweite [mm] = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,275
  
  • = Öffnungsverhältnis * 0,2805
  • = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,2805
  
  • = Öffnungsverhältnis * 0,3355
  • = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,3355

Pixelgröße [µm] (Formel 1a); Brennweite [mm] (Formel 1b)

Beispiel (TLAPO1027, Rayleigh/Dawes/Grenzfrequenz)

Abbildungsmaßstab

Aus den folgenden Formeln kann der Abbildungsmaßstab bestimmt werden, sofern Teleskopbrennweite und Sensor (Pixelgröße) vorgegeben sind:

Beispiel (TLAPO1027)

Abweichende Richtwerte für den Abbildungsmaßstab bei diesen Objekten (Mond, Sonne, Planeten) habe ich nicht finden können, obwohl bestimmte Quellen schreiben, dass es diese gäbe...

(2) Oversampling, optimales Öffnungsverhältnis, optimale Brennweite

Bei Mond-, Sonnen- und Planetenaufnahmen mit Webcams oder CCD/CMOS-Kameras kann es sinnvoll sein, die Aufnahmen zu "oversamplen", um so mehr Details abzubilden. Dabei wird das Licht auf mehr Pixel verteilt, als es nach dem Nyquist-Kriterium zum Erreichen der Bildauflösung erforderlich ist, weil der Empfindlichkeitsverlust keine große Rolle spielt (sofern das Seeing eine Darstellung der Details erlaubt). Eine beliebige Steigerung der Brennweite ist jedoch nicht sinnvoll, sondern man strebt einen Kompromiss zwischen Brennweite und Bildhelligkeit (und damit der Belichtungszeit) an. Dazu berechnet man das optimale Öffnungsverhältnis "fo" nach einer von Stefan Seip angegebenen Formel (siehe Anhang) bzw. nach diesen Faustformeln:

Anschließend läßt sich die optimale Brennweite am einfachsten folgendermaßen bestimmen:

Typischerweise muss die Teleskopbrennweite durch geeignete Barlow-Linsen oder Fokalextender verlängert werden.

Beispiele

(1) Kamera Atik Infinity Colour, Pixelbreite 6,45 μm. Hierfür ergibt die Formel mit Faktor 5 eine optimale Blende von 32,25 (also 32) und damit ein optimales Öffnungsverhältnis von etwa f/32 (1:32).

Anwendung auf meine Teleskope:

(2) Kamera ASI 224 MV Color, Pixelbreite 3,75 μm. Hierfür ergibt die Formel mit Faktor 5 eine optimale Blende von 18,75 (also grob 16) und damit ein optimales Öffnungsverhältnis von etwa f/16 (1:16).

Anwendung auf meine Teleskope:

Quelle, verändert: https://www.astrovis.at/images/VDS-Journal-48-Astrovis-Kennzahlen.pdf

 

Anwendungsbeispiele

Im folgenden zeige ich Tabellen mit Rechenergebnissen auf der Grundlage der oben angegebenen Formeln, und zwar für meine und für einige andere Teleskope und für Kamerasensoren, die für mich relevant sind. Am Ende dieses Abschnitts versuche ich anhand einer reduzierten Tabelle die Eignung von drei Sensorgrößen für meine Teleskope zu überprüfen.

Berechnungen für meine und weitere Teleskope und einige Sensorgrößen

Die folgenden beiden Tabellen habe ich mit Hilfe eines Excel-Spreadsheets auf der Grundlage der angegebenen Formeln berechnet.

Optimale Pixelgröße

Die optimale Pixelgröße wird im Folgende über die Auflösung nach Rayleigh (kein Seeing-Einfluss) und über das Seeing nach der Halbierungsregel berechnet (in einigen Fällen muss das Beugungsscheibchen als größter Wert genommen werden):

Teleskop
Auflösung ["]
Optimale Pixelgröße [µm]
Beispiele
Brennweite [mm] (mm) 
Öffnung [mm]
f
Nach
Rayleigh
Nach
Dawes
Nach
Nyquist
Über Auflösung
Über Seeing (FWHM)
 BS
Rayl. Daw. Nyq.
2"
3"
4"
5"
 "
Vespera 200 50 4 2,77 2,31 2,27 1,34 1,12 1,10 0,97 1,45 1,94 2,42

5,53
Vespera Pro 250 50 5 2,77 2,31 2,27 1,34 1,12 1,10 1,21 1,82 2,42 3,03 5,53
Stellina 400 80 5 1,73 1,45 1,42 1,68 1,40 1,38 1,94 2,91 3,88 4,85 3,46
TLAPO804, APO 80/480 480 80 6 1,73 1,45 1,42 2,01 1,68 1,65 2,33 3,49 4,65 5,82 3,46
Heritage 100P  400 100 4 1,38 1,16 1,13 1,34 1,12 1,10 1,94 2,91 3,88 4,85 2,77
TLAPO1027 714 102 7 1,36 1,13 1,11 2,35 1,96 1,93 3,46 5,19 6,92 8,65 2,17
PS 72/432 432 72 6 1,92 1,61 1,58 2,01 1,68 1,65 2,09 3,14 4,19 5,24 3,84
eVscope (2), Newton 114/450 450 114 4 1,21 1,01 1,00 1,32 1,11 1,09 2,18 3,27 4,36 5,45 2,43
Newton 114/500 500 114 4,4 1,21 1,01 1,00 1,47 1,23 1,21 2,42 3,64 4,85 6,06 2,43
Heritage P130 650 130 5 1,06 0,89 0,87 1,68 1,40 1,38 3,15 4,73 6,30 7,88 2,13
6" Newton, Explorer 150PDS  750 150 5 0,92 0,77 0,76 1,68 1,40 1,38 3,64 5,45 7,27 9,09 1,84
6" Newton  900 150 6 0,92 0,77 0,76 2,01 1,68 1,65 4,36 6,54 8,73 10,91 1,84
6" Newton 1200 150 6 0,92 0,77 0,76 2,68 2,24 2,24 5,82 8,73 11,64 14,54 1,84
8" Newton, GSD 680  1200 200 6 0,69 0,58 0,57 2,01 1,68 1,65 5,82 8,73 11,64 14,54 1,38
Skymax-102 1300 102 12,7 1,36 1,13 1,11 4,28 3,58 3,40 6,30 9,45 12,61 15,76 2,71
Skymax-127 1500 127 11,8 1,09 0,91 0,89 3,96 3,31 3,25 7,27 10,91 14,54 18,18 2,18
Skymax-127R 750 127 5,9 1,09 0,91 0,89 1,98 1,66 1,62 3,64 5,45 7,27 9,09 2,18
Celestron C5 1250 125 10 1,11 0,93 0,91 3,36 2,81 2,75 6,06 9,09 12,12 15,15 2,21
Celestron C5R 787,5 125 6,3 1,11 0,93 0,91 2,12 1,77 1,73 3,82 5,73 7,64

9,55

 2,21
Celestron C8 2032 203 10 0,68 0,57 0,56 3,36 2,81 2,75 9,85 14,78 19,70 24,63 1,36
Celestron C8R 1280 203 6,3 0,68 0,57 0,56 2,12 1,77 1,73 6,21 9,31 12,41 15,51 1,36
Celestron C8R2 1016 203 5 0,68 0,57 0,56 1,68 1,40 1,38 4,93 7,39 9,85 12,31 1,36
Celestron C14 3500 350 10 0,40 0,33 0,32 3,35 2,81 2,75 16,97 25,45 33,94 42,42 0,79

Abbildungsmaßstab, Optimale Brennweite

Für den Abbildungsmaßstab wurde die Faustformel verwendet, weil die exakte Formel dieselben Zahlenwerte liefert. Dabei wurde der genauere Wert von "206,265" anstelle von "206" verwendet. Die optimale Brennweite wird bei Mond-, Sonnen- und Planetenbeobachtungen verwendet; die optimale Blende beträgt Pixelgröße [µm] * 5.

Teleskop
Abbildungs-
maßstab
Optimale Brennweite [mm] (Farbe)
Beispiele
Brennweite [mm] (mm) 
Öffnung [mm]
f
Pixelgröße [µm]
2,0
2,4
 2,9
3,75
 4,63
6,45
 2,0
2,4
 2,9
3,75
6,45
Vespera 200 50 4   2,48 2,99 3,87 4,78 6,65   --- --- --- ---
Vespera Pro 250 50 5               --- --- --- ---
Stellina 400 80 5   1,24 1,50 1,93 2,39 3,33   960,00 1160,00 1500,00 2580,00
TLAPO804, APO 80/480 480 80 6   1,03 1,25 1,61 1,99 2,77   960,00 1160,00 1500,00 2580,00
Heritage 100P  400 100 4   1,24 1,50 1,93 2,39 3,33   1200,00 1450,00 1875,00 3225,00
TLAPO1027 714 102 7   0,69 0,84 1,08 1,34 1,86   1224,00 1479,00 1912,50 3289,50
PS 72/432 432 72 6   1,15 1,38 1,79 2,21 3,08   864,00 1044,00 1350,00 2322,00
eVscope, Newton 114/450 450 114 4   1,10 1,33 1,72 2,12 2,96   1368,00 1653,00 2137,50 3676,50
Newton 114/500 500 114 4,4   0,99 1,20 1,55 1,91 2,66   1368,00 1653,00 2137,50 3676,50
Heritage P130 650 130 5   0,76 0,92 1,19 1,47 2,05   1560,00 1885,00 2437,50 4192,50
6" Newton, Explorer 150PDS 750 150 5   0,66 0,80 1,03 1,27 1,77   1800,00 2175,00 2812,50 4837,50
6" Newton 900 150 6   0,55 0,66 0,86 1,06 1,48   1800,00 2175,00 2812,50 4837,50
6" Newton 1200 150 6   0,41 0,50 0,64 0,80 1,11   1800,00 2175,00 2812,50 4837,50
8" Newton, GSD 680 1200 200 6   0,41 0,50 0,64 0,80 1,11   2400,00 2900,00 3750,00 6450,00
Skymax-102 1300 102 12,7   0,38 0,46 0,59 0,73 1,02   1224,00 1479,00 1912,50 3289,50
Skymax-127 1500 127 11,8   0,33 0,40 0,52 0,64 0,89   1524,00 1841,50 2381,25 4095,75
Skymax-127R 750 127 5,9   0,66 0,80 1,03 1,27 1,77   1524,00 1841,50 2381,25 4095,75
Celestron C5 1250 125 10   0,40 0,48 0,62 0,76 1,06   1500,00 1812,50 2343,75 4031,25
Celestron C5R 787,5 125 6,3   0,63 0,76 0,98 1,21 1,69   1500,00 1812,50 2343,75 4031,25
Celestron C8 2032 203 10   0,24 0,29 0,38 0,47 0,65   2436,00 2943,50 3806,25 6546,75
Celestron C8R 1280 203 6,3   0,39 0,47 0,60 0,75 1,04   2436,00 2943,50 3806,25 6546,75
Celestron C8R2 1016 203 5   0,49 0,59 0,76 0,94 1,31   2436,00 2943,50 3806,25 6546,75
Celestron C14 3500 350 10   0,14 0,17 0,22 0,27 0,38   4200,00 5075,00 6562,50 11287,50

Deep Sky: Richtwerte für den Abbildungsmaßstab für verschiedene Seeing-Bedingungen

Ein der obigen Tabelle entnommener Abbildungsmaßstab kann nun entweder mit dem "good sampling"-Wertebereich von 1-2 (oder dem Wert 1,5) verglichen werden oder mit den folgenden Abbildungsmaßstäben, die für unterschiedliche Seeing-Bedingungen angegeben werden:

  Seeing
Abbildungsmaßstab
  
Seeing-Bedingungen FWHM-Wert

Astronomy.tools

 H.J. Strauch* Anmerkungen
  Von Bis Von Bis Von Bis  
Exceptional good seeing 0,5" 1" 0,17 0,5 0,25 0,5  
Good seeing 1" 2" 0,33 1 0,5 1  
OK seeing 2" 4" 0,67 2 1 2 Mittelwert = 3" für Mitteleuropa => 1,5 (H.J. Strauch)
Poor seeing 4" 5" 1,33 2,5 2 2,5  
Very poor seeing 5" 6" 1,67 3 2,5 3  

*) Nach der "Halbierungsregel" (von H.J. Strauch angegeben), wenn man die Seeing-Bereiche von Astronomy.tools zugrunde legt.

Brennweitenbereiche für verschiedene Sensorgrößen

Die Brennweiten wurden für die Abbildungsmaßstäbe 2 und 1 berechnet.

Kamera/Teleskop Pixelgröße Brennweite (2) Brennweite (1) Bereich Opt. Pixelgröße für eigenen Tubus Passt für...
µm mm mm mm µm
Vespera 2,9 299,1 598,2 300-600 1,34 PS72/432, TLAPO804, APO 80/480
Stellina 2,4 247,5 495,0 250-500 1,68 PS72/432, TLAPO804, APO 80/480
eVscope, ASI120, ASI224 3,75 386,7 773,5 400-800 1,32 TLAPO1027, SM127R, PS72/432, APO 80/480, C5R
ASI294 4,63 477,5 955,0 450-1000 abhängig von der Tubusbrennweite TLAPO1027, SM127R, C5R
Atik Infinity 6,45 665,2 1330,4 650-1300 abhängig von der Tubusbrennweite TLAPO1027, C8R, C8R2, SM127R, C5R

Stattdessen können die Brennweiten auch für die Grenzwerte der jeweiligen Seeing-Bedingungen berechnet werden.

Anwendung auf meine Teleskope

In Folgenden habe ich die obige Tabelle auf meine Teleskope reduziert und versuche nun die "Regeln" anzuwenden. Bei der optimalen Pixelgröße hebe ich die 3"-Spalte hervor (und leicht die 2"- und 4"-Spalten); beim Abbildungsmaßstab hinterlege ich geeignete Zellen farblich und hebe den Sensor meiner Atik Infinity-Kamera hervor. Heraus kommt dieses:

Meine Teleskope   
Auflösung ["]
Optimale Pixelgröße [µm]
Abbildungs-
maßstab ["/Pixel]
Optimale
Brennweite [mm] (Farbe)
Teleskop
Brennw.
[mm] (mm) 
Öffnung
[mm]
f
Nach
Rayleigh
Über
Aufl.
Über Seeing (FWHM)
 BS
Für Pixelgröße [µm]
2"
3"
4"
5"
"
  
2,4
 2,9
3,75
 4,63
6,45
2,4
 2,9
3,75
6,45
Vespera 200 50 4 2,77 1,34 0,97 1,45 1,94 2,42 5,53   2,48 2,99 3,87 4,78 6,65 --- --- --- ---
TLAPO1027 714 102 7 1,36 2,35 3,46 5,19 6,92 8,65 2,17   0,69 0,84 1,08 1,34 1,86 1224,00 1479,00 1912,50 3289,50
TLAPO804 480 80 6 1,73 2,01 2,33 3,49 4,65 5,82 3,46   1,03 1,25 1,61 1,99 2,77 960,00 1160,00 1500,00 2580,00
PS 72/432 432 72 6 1,92 2,01 2,09 3,14 4,19 5,24 3,84   1,15 1,38 1,79 2,21 3,08 864,00 1044,00 1350,00 2322,00
eVscope 450 114 4 1,21 1,32 2,18 3,27 4,36 5,45 2,43   1,10 1,33 1,72 2,12 2,96 1368,00 1653,00 2137,50 3676,50
Celestron C5 1250 125 10 1,11 3,36 6,06 9,09 12,12 15,15 2,21   0,40 0,48 0,62 0,76 1,06 1500,00 1812,50 2343,75 4031,25
Celestron C5R 787,5 125 6,3 1,11 2,12 3,82 5,73 7,64 9,55 2,21   0,63 0,76 0,98 1,21 1,69 1500,00 1812,50 2343,75 4031,25
Celestron C8 2032 203 10 0,68 3,36 9,85 14,78 19,70 24,63 1,36   0,24 0,29 0,38 0,47 0,65 2436,00 2943,50 3806,25 6546,75
Celestron C8R 1280 203 6,3 0,68 2,12 6,21 9,31 12,41 15,51 1,36   0,39 0,47 0,60 0,75 1,04 2436,00 2943,50 3806,25 6546,75
Celestron C8R2 1016 203 5 0,68 1,68 4,93 7,39 9,85 12,31 1,36   0,49 0,59 0,76 0,94 1,31 2436,00 2943,50 3806,25 6546,75

Die Zellen beim Abbildungsmaßstab habe ich cyan hinterlegt, wenn sie im Bereich zwischen 1 und 2 liegen (Halbierungsregel); Zellen mit Werten zwischen 0,6 und 1 habe ich blau hinterlegt ("Tweak" nach Astronomy.tools). Textfarben sollen relevante Daten hervorheben.

Daraus folgere ich:

Die Kombination beider Reduzierer passt am C8 auch, wie ich herausgefunden habe.

In kurz: am TLAPO1027 passen die ASI224 (besser bei gutem Seeing) und die Atik Infinity, am PS 72/432 die ASI 224, am Skymax-127 und C8 die Atik Infinity, aber eigentlich nur mit Brennweitenreduzierern (am 127R ginge auch die ASI224).

Die Daten für die optimale Brennweite möchte ich hier nicht kommentieren, außer dass 3- und 5-fach Fokalextender angebracht erscheinen (die ich besitze/besaß...).

 

Zusammenfassung

Es hat einige Zeit gedauert, bis ich in den vielen Formeln im Internet ein gewisses "System" erkannt habe. Ich hoffe, dass ich alles einigermaßen richtig und verständlich dargestellt habe, so dass andere Hobby-Astronomen die Formeln auch auf ihre eigene Ausrüstung anwenden können.

 

Links

 

Anhang: Sammlung der Faustformeln

Die im folgenden angegebenen Faustformeln werden weiter unten abgeleitet. Sie beruhen auf Licht der Wellenlänge 550 nm.

Auflösungsvermögen

Auf der Basis der Grenzfrequenz   Nach Dawes   Nach Rayleigh
  • Auflösungsvermögen [rad] = 0,00055 / Öffnung [mm]
  • Auflösungsvermögen ["] = 113,45 / Öffnung [mm]
  
  • = 0,00056 / Öffnung [mm]
  • = 115,7 / Öffnung [mm]
  
  • = 0,00067 / Öffnung [mm]
  • = 138,4 / Öffnung [mm]

Pixelgröße und Teleskopbrennweite (basierend auf dem Auflösungsvermögen)

Auf der Basis der Grenzfrequenz   Nach Dawes   Nach Rayleigh
  • Pixelgröße [µm] = Öffnungsverhältnis * 0,275
  • Brennweite [mm] = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,275
  
  • = Öffnungsverhältnis * 0,2805
  • = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,2805
  
  • = Öffnungsverhältnis * 0,3355
  • = Pixelgröße [µm] * Öffnung [mm] / 0,3355

Pixelgröße und Teleskopbrennweite (basierend auf dem Seeing)

Beugungsscheibchen (Airy Disk)

Abbildungsmaßstab

Optimales Öffnungsverhältnis, optimale Brennweite

 

Anhang: Herleitung der Formeln

Optimale Pixelgröße, Optimale Teleskopbrennweite

Die Herleitung orientiert sich an:

Oft wird die Frage gestellt, welche Pixelgröße der Sensor einer Aufnahmekamera bei gegebener Teleskopbrennweite haben sollte. Umgekehrt stellt sich bei gegebener Kamera, d.h. Pixelgröße, die Frage, welche Brennweite passende Teleskope haben sollten. Hierzu folgende Betrachtung: Zwei Objekte lassen sich auf dem Sensor nur dann trennen, wenn zwischen ihnen ein weiterer Pixel liegt. Der Abstand dieser Objekte auf dem Chip beträgt also das Doppelte der Pixelgröße:

Entsprechend dem Diagramm gilt:

Anmerkung: Denkbar ist auch ein symmetrischer Ansatz mit jeweils einem Pixel über und unter der Mittellinie. Dann wäre der Winkel "Pixelgröße / Brennweite" und der Tangens müsste zweimal (zwei rechtwinklige Dreiecke) genommen werden. In der Praxis ist der Winkel so klein, dass keine zahlenmäßigen Unterschiede zwischen beiden Varianten entstehen. Sogar die Linearisierung des Tangens hat bei mir keine Unterschiede in den Zahlenwerten ergeben.

Auflösungsvermögen

Für die Größe des Winkels kann unter bestimmten Bedingungen das Auflösungsvermögen des Teleskops nach Rayleigh eingesetzt werden, welches lautet:

Manche Autoren setzen stattdessen die Nyquist-Grenzfrequenz (Faktor 1 => 0,00055) oder das fast gleiche Dawes-Kriterium (Faktor 1,02 => 0,000561) ein; die Faustformeln dazu, siehe weiter unten!

Mit λ = 550 nm = 0,00055 mm (als Mittelwert für das vom menschlichen Auge wahrnehmbare Lichtspektrum) und Umrechnung des Auflösungsvermögens in gebräuchlichere Winkelmaße (") (für die Zahlen siehe "Nebenbei" unten) ergibt sich:

Einsetzen der Formel für das Auflösungsvermögen (nur für das Rayleigh-Kriterium gezeugt) und Umrechnen der Pixelgröße in µm liefert:

Auflösen nach der Pixelgröße in µm ergibt, wenn alle anderen Maße in mm sind, und wenn man als Wellenlänge 550 nm in mm einsetzt:

Linearisierung liefert in erster Näherung die Faustformel:

Bei gegebener Pixelgröße in µm folgt für die Teleskopbrennweite im mm:

Linearisierung liefert in erster Näherung und mit 550 nm in mm die Faustformel:

Hinweis: Anstatt von der Formel für die Teleskopbrennweite auszugehen, hätten wir auch von der linearisierten Formel für die Pixelgröße ausgehen können, um zu der Faustregel für die Teleskopbrennweite zu gelangen.

Für das Dawes-Kriterium und die Nyquist-Grenzfrequenz ergeben sich die folgenden Faustformeln:

Mit all den obigen Schritten sind wir bei Faustformeln für die Pixelgröße und Teleskopbrennweite angelangt, die jedoch selten eingesetzt werden, weil statt des Auflösungsvermögens des Teleskops eher Werte für das lokale Seeing verwendet werden:

Nebenbei: Für die Umrechnung des Bogenmaßes in Winkelmaß, genauer, in Grad, Minuten und Sekunden gilt:

Oft wird noch die Lichtwellenlänge in µm eingegeben, während mit mm gerechnet wird. Dafür muss durch 1000 geteilt werden, was zu der oft in Formeln oder Faustformeln zu sehenden Konstanten 206,265 führt.

Seeing

Bei DSO-Aufnahmen wird üblicherweise der Einfluss des Seeings bei der Anpassung des Kamerasensors an ein Teleskop berücksichtigt. Dabei setzt man anstelle des Auflösungsvermögens das lokale Seeing als FWHM-Wert (in Bogensekunden) in die Formel für die Pixelgröße ein:

Linearisierung (erste Näherung) liefert:

Für die Teleskopbrennweite ergibt sich:

Linearisierung (erste Näherung) liefert:

Beugungsscheibchen (Airy Disk)

Der Durchmesser des Beugungsscheibchens (Airy Disk), der sich aus dem effektiven Blendendurchmesser eines optischen Systems ergibt, bestimmt dessen Auflösungsvermögen: Zwei Punkte lassen sich dann sicher nach dem Rayleigh-Kriterium trennen, wenn die Maxima ihrer Abbilder mindestens um den Radius des Beugungsscheibchens auseinander liegen. Der Durchmesser gibt auch die minimale Größe an, mit der Sterne im Teleskop abgebildet werden.

Der Durchmesser D (Länge, Winkelmaß) des Beugungscheibchens berechnet sich nach den folgenden Formeln:

(Die Zahlenwerte ergeben sich aus dem Rayleigh-Kriterium.)

Abbildungsmaßstab

Hier gilt ebenfalls das obenstehende Diagramm, aber nur für einen Pixel (das Dreieck wird von einem Pixel und der Brennweite gebildet):

Linearisierte Näherung und Faustformel:

Optimales Öffnungsverhältnis, optimale Brennweite

Das optimale Öffnungsverhältnis berechnet man wie folgt nach einer von Stefan Seip angegebenen Formel:

Dabei bedeuten: fo = Blende für eine beugungsbegrenzte Abbildung, Pixelgröße = Kantenlänge eines Pixels (μm), λ = Wellenlänge des Lichts (550 nm für "weißes" Licht). Der Faktor √2 berücksichtigt den Einfluss des Bayer-Filters bei Farbsensoren.

Anschließend läßt sich die optimale Brennweite auf zwei Arten bestimmen:

Typischerweise muss bei dieser Vorgehensweise die Teleskopbrennweite durch geeignete Barlow-Linsen oder Fokalextender verlängert werden.

 

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02.12.2024